Jawaban Ada dua cara dalam membuktikan bahwa 1+1=3, 1.Redefinisi simbol-simbol matematika Saya akan menciptakan makna yang baru dari simbol-simbol matematika, jadi menurut matematika saya, elemen bilangan asli (bilangan bulat positif) diawali dengan {1, 3 , 2 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9 } oleh karena
ο»ΏDiketahuibahwa (1+1/2)(1+1/3)(1+1/4)(1+1/5)(1+1/n)=11. Berapakah nilai n yang memenuhi? Dengan mengamati, tentukan nilai n yang yang memenuhil persamaan di atas.
Postingankali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bartle Bagian 2.3 yang terkait dengan Sifat Kelengkapan Bilangan Real. Materi tersebut meliputi supremum dan infimum suatu himpunan. Soal-soal berikut diambil dari buku "Introduction to Real Analysis" oleh Robert G.Bartle dan Donald R. Sherbert.
Namunyang membedakannya proses kecepatan belajar. pada suatu saat ada peserta didik yang belajar dalam 1-3 pertemuan. ada juga yang membutuhkan 3 pertemuan lebih untuk dapat memahami materi Dengan kata lain, Belajar tergantung kondisi dan keadaan seseorang untuk memahami materi. baik itu cuaca, suasana, perasaan dan lingkungan yang mempengaruhi.
Jikadiketahui bahwa 1 x 1 cos 2 2x \u03b8 maka 22 1x x A 2 2tan sin\u03b8 \u03b8 B 22 tan sin. Jika diketahui bahwa 1 x 1 cos 2 2x ΞΈ maka 22 1x x a. School SMA Negeri 4 Bekasi; Course Title Science 101; Uploaded By MinisterHareMaster215. Pages 46 Ratings 100% (1) 1 out of 1 people found this document helpful;
oRya. Vektor merupakan salah satu materi matematika peminatan mathematics- extended/further yang dipelajari oleh siswa kelas X jurusan MIPA Tingkat SMA. Secara singkat, vektor merupakan besaran yang memiliki nilai sekaligus arah. Kadang vektor juga disebut sebagai garis berarah garis yang memiliki panah, di mana panjang garis mewakili nilai vektor, sedangkan panah mewakili arah vektor. Untuk memperkuat pemahaman konsep tentang vektor, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan sumber pembelajaran. Unduh soal di tautan berikut Download PDF. Today Quote Ketika yang lain bisa berlari, janganlah iri karena dirimu hanya bisa berjalan. Bersyukurlah sebab ada yang hanya bisa merangkak demi sampai ke garis finis. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Diketahui vektor $\vec a = \widehat{i}+2\widehat{j}-3\widehat{k}$, $\vec b = 3\widehat{i}+5\widehat{k}$, $\vec c=-2\widehat{i}-4\widehat{j}+\widehat{k}$, dan $\vec u= 2 \vec a + \vec b- \vec c$. Vektor $\vec u$ adalah $\cdots \cdot$ A. $5\widehat{i}+6\widehat{j}+\widehat{k}$ B. $3\widehat{i}-2\widehat{j}-2\widehat{k}$ C. $2\widehat{i}-2\widehat{j}$ D. $7\widehat{i}+8\widehat{j}-2\widehat{k}$ E. $7\widehat{i}-8\widehat{j}-2\widehat{k}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 1,2,-3 \\ \vec b & = 3,0,5 \\ \vec c & = -2,-4,1 \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} \vec u & = 2 \vec a + \vec b-\vec c \\ & = 21,2,-3+3,0,5-2,-4,1 \\ & = 2,4,-6+3,0,5+2,4,-1 \\ & = 2+3+2,4+0+4,-6+5-1 \\ & = 7,8,-2 \end{aligned}$$Jadi, vektor $\vec u$ adalah $\boxed{7\widehat{i} + 8\widehat{j}-2\widehat k}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui $A1,2,3,B3,3,1$, dan $C7,5,-3$, Jika $A,B$, dan $C$ segaris kolinear, maka $\vec{AB} \vec{BC}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1 2$ D. $5 7$ B. $2 1$ E. $7 5$ C. $2 5$ Pembahasan Karena $A, B, C$ segaris, maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik itu akan saling berkelipatan memiliki perbandingan. Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui $\begin{aligned} \vec{AB} & = B-A = 3,3,1-1,2,3 \\ & =2,1,-2 \\ \vec{BC} & = C-B = 7,5,-3-3,3,1 \\ & = 4,2,-4 \end{aligned}$ Dengan demikian, $\begin{aligned} \dfrac{\vec {AB}}{\vec {BC}} & = \dfrac{2,1,-2}{4,2,-4} \\ & = \dfrac{\cancel{2,1,-2}}{2\cancel{2,1,-2}} = \dfrac12 \end{aligned}$ Jadi, $\boxed{\vec{AB} \vec{BC} = 1 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui bahwa $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix}$, dan $\vec{c}= \begin{pmatrix} 3 \\-4 \\ 5 \end{pmatrix}$. Jika $\vec{a} \perp \vec{b}$, maka hasil dari $\vec a + 2 \vec b-\vec c = \cdots \cdot$ A. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}$ D. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 12 \end{pmatrix}$ B. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 6 \end{pmatrix}$ E. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 14 \end{pmatrix}$ C. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix}$ Pembahasan Karena $\vec a \perp \vec b$ saling tegak lurus, maka $\vec a \bullet \vec b = 0$ sehingga ditulis $\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix} & = 0 \\ 14 + 24 + -3m & = 0 \\ 4+8-3m&=0 \\-3m&=-12 \\ m &=4 \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} \vec a + 2 \vec b- \vec c & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 3 \\-4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+8-3 \\ 2+8-4 \\-3+8-5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\vec a + 2 \vec b-\vec c = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui vektor $\vec a= \widehat{i}+2\widehat{j}-x\widehat{k}$, $\vec b = 3\widehat{i}-2\widehat{j}+\widehat{k}$, dan $\vec c= 2\widehat{i}+\widehat{j}+2\widehat{k}$. Jika $\vec a \perp \vec c$, maka nilai dari $\vec a + \vec b \bullet \vec a-\vec c$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4$ C. $0$ E. $4$ B. $-2$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix}~~~~\vec b = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}~~~~\vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ Karena $\vec a \perp \vec c$ saling tegak lurus, maka $\vec a \bullet \vec c = 0$ sehingga ditulis $\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} & = 0 \\ 12 + 21 + -x2 & = 0 \\ 2+2-2x&=0 \\-2x&=-4 \\ x &=2 \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} & \vec a + \vec b \bullet \vec a- \vec c \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\-1 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\-4 \end{pmatrix} \\ & = 4-1+01+-1-4 = 0 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\vec a + \vec b \bullet \vec a-\vec c = 0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Diketahui vektor $\vec u = 3\widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k}$ dan $\vec v = 3\widehat{i}+9\widehat{j}-12\widehat{k}$. Jika vektor $2 \vec u-a \vec v$ tegak lurus terhadap $\vec v$, maka nilai $a = \cdots \cdot$ A. $-1$ C. $1$ E. $3$ B. $-\dfrac13$ D. $\dfrac13$ Pembahasan Diketahui $\vec u = 3,2,-1$ dan $\vec v = 3,9,-12$ Misalkan $\vec x = 2 \vec u- a \vec v$ sehingga $\begin{aligned} \vec x & = 23,2,-1-a3,9,-12 \\ & = 6,4,-2-3a, 9a,-12a \\ & = 6-3a, 4-9a,-2+12a \end{aligned}$ Karena vektor $\vec x = 2 \vec u-a \vec v$ tegak lurus terhadap $\vec v$, maka haruslah memenuhi $\vec x \bullet \vec v = 0$ sehingga ditulis $$\begin{aligned} 6-3a, 4-9a,-2+12a \bullet 3,9,-12 & = 0 \\ 36-3a + 94-9a + -12-2+12a & =0 \\ 18-9a + 36-81a + 24- 144a & = 0 \\ 78- 234a & = 0 \\-234a & =-78 \\ a & = \dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a = \dfrac13}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 6 Diketahui vektor $\vec u = 2,-1,3$ dan $\vec v =-3,2,6$. Panjang proyeksi vektor skalar $3 \vec u + 2 \vec v$ pada vektor $\vec v$ adalah $\cdots \cdot$ A. $13\dfrac34$ D. $21\dfrac57$ B. $15\dfrac57$ E. $22\dfrac34$ C. $18\dfrac27$ Pembahasan Misalkan $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$ sehingga $\begin{aligned} \vec x & = 32,-1,3 + 2-3,2,6 \\ & = 6,-3,9+-6,4,12 \\ & = 6+-6,-3+4, 9+12 \\ & = 0, 1, 21 \end{aligned}$ Panjang proyeksi vektor skalar $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$ pada vektor $\vec v$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec x_{\vec v} & = \dfrac{\vec x \bullet \vec v} {\vec v} \\ & = \dfrac{0,1,21 \bullet -3,2,6} {\sqrt{-3^2+2^2+6^2}} \\ & = \dfrac{0-3+12+216} {\sqrt{9+4+36}} \\ & = \dfrac{0+2+126}{\sqrt{49}} \\ & = \dfrac{128}{7} = 18\dfrac27 \end{aligned}$ Jadi, panjang proyeksi vektor skalar dari kedua vektor tersebut adalah $\boxed{18\dfrac27}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui vektor $\vec u = \widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k}$ dan $\vec v = \widehat{i}+\widehat{j}+m\widehat{k}$. Panjang proyeksi $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\dfrac23\sqrt3$. Bila $m>0$, maka nilai $m+2=\cdots \cdot$ A. $2$ C. $5$ E. $15$ B. $3$ D. $9$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec u & = 1, 2,-1 \\ \vec v & = 1, 1, m \\ \vec u _{\vec v} & = \dfrac23\sqrt3 \end{aligned}$ Dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec u _{\vec v} & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{\vec v} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{1,2,-1 \bullet 1,1,m}{\sqrt{1^2+1^2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{11 + 21 + -1m}{\sqrt{2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \left\dfrac23\sqrt3\right^2 & = \left\dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}}\right^2 \\ \dfrac{4}{\cancelto{3}{9}} \cdot \cancel{3} & = \dfrac{9-6m+m^2}{2+m^2} \\ \dfrac432+m^2 & = 9-6m+m^2 \\ 8+4m^2 & = 27-18m+3m^2 \\ m^2 + 18m- 19 & = 0 \\ m+19m-1 & = 0 \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh $m =-19$ atau $m=1$. Karena $m>0$, maka dipilih $m=1$ sehingga nilai $\boxed{m+2=1+2=3}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Misalkan $At^2+1,t$ dan $B1,2$ sehingga panjang vektor proyeksi $\vec{OA}$ terhadap $\vec{OB}$ lebih dari $\dfrac{4}{\sqrt5}$. Nilai $t$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $-33$ C. $t1$ D. $-1 \dfrac{4}{\sqrt5} \end{aligned}$ Karena panjang proyeksi vektornya lebih dari $\dfrac{4}{\sqrt5}$, maka kita tuliskan $\begin{aligned} \vec{OA}_{\vec {OB}}& > \dfrac{4}{\sqrt5} \\ \dfrac{\vec{OA} \bullet \vec{OB}}{\vec{OB}} & > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{t^2+1, t \bullet 1, 2}{\sqrt{1^2+2^2}} & > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{t^2+11 + t2}{\cancel{\sqrt5}} & > \dfrac{4}{\cancel{\sqrt5}} \\ t^2+1+2t & > 4 \\ t^2+2t-3 & > 0 \\ t+3t-1 & > 0 \end{aligned}$ Pembuat nol $t =-3$ atau $t = 1$. Dengan menggunakan bantuan garis bilangan, uji salah satu nilai $t$ untuk menentukan tanda positif-negatif. Nilai $t$ yang mungkin adalah $\boxed{t1}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 9 Vektor $\vec z$ adalah proyeksi vektor $\vec x =-\sqrt3,3,1$ pada vektor $\vec y =\sqrt{3},2,3$. Panjang vektor $\vec z$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $\dfrac32$ E. $\dfrac52$ B. $1$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec x & = -\sqrt3,3,1 \\ \vec y & = \sqrt3, 2, 3 \end{aligned}$ Panjang proyeksi vektor $\vec x$ pada $\vec y$ dinyatakan oleh $$\begin{aligned} \vec z = \vec x_{\vec y} & = \dfrac{\vec x \bullet \vec y} {\vec y} \\ & = \dfrac{-\sqrt3, 3, 1 \bullet \sqrt3, 2, 3} {\sqrt{\sqrt3^2+2^2+3^2}} \\ & = \dfrac{-\sqrt3\sqrt3+32+13} {\sqrt{3+4+9}} \\ & = \dfrac{-3 + 6 + 3}{\sqrt{16}} \\ & = \dfrac{6}{4} = \dfrac32 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec z$ adalah $\boxed{\dfrac32}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 10 Diketahui $\vec p= \widehat{i}-\widehat{j}+2\widehat{k}$ dan $\vec q= 2\widehat{i}-2\widehat{j}+n\widehat{k}$. Jika panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ adalah $2$, maka $n=\cdots \cdot$ A. $1$ C. $4$ E. $8$ B. $3$ D. $6$ Pembahasan Panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ dinyatakan oleh $\vec p_{\vec q} = \dfrac{\vec p \bullet \vec q} {\vec q}$ Diketahui $\begin{aligned} \vec p & = 1,-1,2 \\ \vec q & = 2,-2,n \\ \vec p_{\vec q} & = 2 \end{aligned}$ Untuk itu, kita peroleh $$\begin{aligned} 2 & = \dfrac{1,-1,2 \bullet 2,-2,n}{\sqrt{2^2+-2^2+n^2}} \\ 2 & = \dfrac{12 + -2-1 + 2n} {\sqrt{4+4+n^2}} \\ 2 & = \dfrac {4+2n} {\sqrt{8+n^2}} \\ 2\sqrt{8+n^2} & = 4+2n \\ \sqrt{8+n^2} & = 2+n \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 8+n^2 & = 2+n^2 \\ 8+\cancel{n^2} & = 4+4n+\cancel{n^2} \\ 8&=4+4n \\ n & = \dfrac{8-4}{4} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{n = 1}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 11 Jika $\vec u$ dan $\vec v$ adalah dua vektor satuan yang membentuk sudut $45^{\circ}$, maka $\vec u + \vec v \bullet \vec v = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{2 + \sqrt{2}}{2}$ D. $\sqrt2$ B. $\dfrac{2- \sqrt{2}}{2}$ E. $2\sqrt2$ C. $\dfrac12\sqrt2$ Pembahasan Karena $\vec u$ dan $\vec v$ vektor satuan, maka $\vec u = \vec v =1$ dan juga diketahui $\angle\vec u, \vec v = 45^{\circ}$. Untuk itu, $$\begin{aligned} \vec u + \vec v \bullet \vec v & = \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec v \\ & = \vec u \cdot \vec v \cos 45^{\circ} + \vec v \cdot \vec v \cos 0^{\circ} \\ & = 11\left\dfrac12\sqrt2\right + 111 \\ & = 1 + \dfrac12\sqrt2 = \dfrac{2+\sqrt2}{2} \end{aligned}$$Catatan Besar sudut antara dua vektor yang sama adalah $0^{\circ}$. Jadi, $\boxed{\vec u + \vec v \bullet \vec v = \dfrac{2+\sqrt2}{2}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui $\vec a, \vec b$, dan $\vec c$ adalah vektor satuan yang membentuk sudut $60^{\circ}$ satu sama lain. Nilai $\vec a + \vec b \bullet \vec b-\vec c = \cdots \cdot$ A. $\dfrac18$ C. $\dfrac12$ E. $2$ B. $\dfrac14$ D. $1$ Pembahasan Karena $\vec a, \vec b$, dan $\vec c$ vektor satuan, maka $\vec a = \vec b = \vec c = 1$ dan juga diketahui $\angle\vec a, \vec b = \angle\vec a, \vec c = \angle\vec b, \vec c = 60^{\circ}$. Untuk itu, $$\begin{aligned} & \vec a + \vec b \bullet \vec b-\vec c \\ & = \vec a \bullet \vec b-\vec a \bullet \vec c + \vec b \bullet \vec b-\vec b \bullet \vec c \\ & = \vec a \cdot \vec b \cos 60^{\circ}-\vec a \cdot \vec c \cos 60^{\circ} + \vec b \cdot \vec b \cos 0 ^{\circ}-\vec b \cdot \vec c \cos 60^{\circ} \\ & = 11\left\dfrac12\right-11\left\dfrac12\right + \\ & 111-11\left\dfrac12\right \\ & = \dfrac12-\dfrac12 + 1-\dfrac12 = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{\vec a + \vec b \bullet \vec b-\vec c = \dfrac12}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 13 Diketahui titik $A1,0,-2,B2,1,-1$, dan $C2,0,-3$. Sudut antara vektor $\vec{AB}$ dengan $\vec{AC}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $30^{\circ}$ D. $90^{\circ}$ B. $45^{\circ}$ E. $120^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ Pembahasan Untuk $A1,0,-2,B2,1,-1$, dan $C2,0,-3$, diperoleh $$\begin{aligned} \vec{AB} & = B- A = 2,1,-1-1,0,-2 \\ & = 1,1,1 \\ \vec{AC} & = C- A = 2,0,-3-1,0,-2 \\ & = 1, 0,-1 \end{aligned}$$Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{AB} \bullet \vec{AC}} {\vec {AB} \cdot \vec {AC}} \\ & = \dfrac{1,1,1 \bullet 1,0,-1} {\sqrt{1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+-1^2}} \\ & = \dfrac{1+0+-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \\ & = \dfrac{0}{\sqrt6} = 0 \end{aligned}$$Dari $\cos \theta = 0$, diperoleh $\boxed{\theta = 90^{\circ}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan β Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga Menurut Trigonometri Soal Nomor 14 Diketahui vektor $\vec a = 2,-3, 1$ dan $\vec b = 1,-2,3$. Nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac57$ D. $\dfrac{5}{11}\sqrt3$ B. $\dfrac{11}{14}$ E. $\dfrac{2}{7}\sqrt6$ C. $\dfrac{5}{14}\sqrt3$ Pembahasan Misalkan $\theta$ merupakan besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor tersebut. Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh $$\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {\vec a \cdot \vec b} \\ & = \dfrac{2,-3,1 \bullet 1,-2,3} {\sqrt{2^2+-3^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+-2^2+3^2}} \\ & = \dfrac{2+6+3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \\ & = \dfrac{11}{14} \end{aligned}$$Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri $\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}$ diperoleh $\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1- \left\dfrac{11}{14}\right^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{121}{196}} = \sqrt{\dfrac{75}{196}} = \dfrac{5\sqrt3}{14} \end{aligned}$ Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\dfrac{5\sqrt3}{14}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 15 Diketahui vektor $\vec a =\widehat{i}+\widehat{j}$ dan $\vec b =-\widehat{i}+\widehat{k}$. Nilai sinus sudut antara kedua vektor tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac12$ D. $\dfrac12\sqrt2$ B. 0 E. $\dfrac12\sqrt3$ C. $\dfrac12$ Pembahasan Bila vektor dinyatakan dalam bentuk koordinat, maka $\vec a = 1, 1, 0$ dan $\vec b = -1, 0, 1$. Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh $$\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {\vec a \cdot \vec b} \\ & = \dfrac{1,1,0 \bullet -1,0,1} {\sqrt{1^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{-1^2+0^2+1^2}} \\ & = \dfrac{-1+0+0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri $\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}$ diperoleh $\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1-\left-\dfrac{1}{2}\right^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac14} = \sqrt{\dfrac34} = \dfrac12\sqrt3 \end{aligned}$ Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\dfrac12\sqrt3}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 16 Panjang vektor $\vec a, \vec b$, dan $\vec a-\vec b$ berturut-turut adalah $3, 4$, dan $\sqrt{37}$. Besar sudut antara vektor $\vec a$ dan vektor $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $30^{\circ}$ D. $120^{\circ}$ B. $45^{\circ}$ E. $150^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 3 \\ \vec b &= 4 \\ \vec a-\vec b & = \sqrt{37} \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a-\vec b & = \sqrt{\vec a^2 + \vec b^2- 2\vec a\vec b \cos \theta} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \sqrt{37}^2 & = 3^2 + 4^2-234 \cos \theta \\ 37 & = 9+16-24\cos \theta \\-24 \cos \theta & = 12 \\ \cos \theta & =-\dfrac{12}{24} =-\dfrac12 \end{aligned}$$Untuk $\cos \theta =-\dfrac12$, diperoleh $\theta = 120^{\circ}$ Jadi, besar sudut antara vektor $\vec a$ dan vektor $\vec b$ adalah $\boxed{120^{\circ}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 17 Diketahui titik $A5, 1, 3, B2,-1,-1$, dan $C4, 2,-4$. Besar sudut $ABC = \cdots \cdot$ A. $\pi$ C. $\dfrac{\pi}{3}$ E. $0$ B. $\dfrac{\pi}{2}$ D. $\dfrac{\pi}{6}$ Pembahasan Besar sudut $ABC$ dapat ditentukan dengan menerapkan rumus $\boxed{\cos \theta = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{\vec {AB} \cdot \vec {BC}}}$ Perhatikan bahwa, $\begin{aligned}\vec{AB} & = B- A \\ & = 2,-1,-1-5, 1, 3 \\ & = -3,-2,-4 \end{aligned}$ dan $\begin{aligned}\vec{BC} & = C- B \\ & = 4, 2,-4-2,-1,-1 \\ & = 2, 3,-3 \end{aligned}$ Panjang vektor $\vec{AB}$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec{AB} & = \sqrt{-3^2+-2^2+-4^2} \\ & = \sqrt{9+4+16} \\ & = \sqrt{29} \end{aligned}$ Panjang vektor $\vec{BC}$ dinyatakan oleh $\begin{aligned}\vec{BC} & = \sqrt{2^2+3^2+-3^2} \\ & = \sqrt{4+9+9} \\ &= \sqrt{22} \end{aligned}$ Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{\vec {AB}\cdot \vec {BC}} \\ & = \dfrac{-3,-2,-4 \bullet 2, 3,-3}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = \dfrac{-6-6+12}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = 0 \end{aligned}$ Karena $\cos \theta = 0$, maka $\boxed{\theta = 90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 18 Diketahui $\vec a=2\sqrt3$ dan $\vec b=4$. Jika vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $\vec a +\vec b$, maka sudut antara vektor $\vec a$ dengan vektor $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $150^{\circ}$ D. $60^{\circ}$ B. $120^{\circ}$ E. $30^{\circ}$ C. $90^{\circ}$ Pembahasan Diketahui $\vec a = 2\sqrt3; \vec b = 4.$ Karena vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $\vec a +\vec b$, maka $\vec a \bullet \vec a + \vec b = 0$. Dari sini, kita peroleh $$\begin{aligned} \vec a \bullet \vec a + \vec a \bullet \vec b & = 0 \\ \vec a \vec a \cos 0^{\circ} + \vec a\vec b \cos \theta & = 0 \\ 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt3 \cdot 1 + 2\sqrt3 \cdot 4 \cdot \cos \theta & = 0 \\ 12+8\sqrt3 \cos \theta & = 0 \\ \cos \theta & =-\dfrac{12}{8\sqrt{3}} \\ & =-\dfrac{3}{2\sqrt3} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ & =-\dfrac{\cancel{3}\sqrt3}{2\cancel{3}} \\ & =-\dfrac12\sqrt3 \end{aligned}$$Karena $\cos \theta =-\dfrac12\sqrt3$, maka nilai $\boxed{\theta = 150^{\circ}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 19 Diketahui limas $ mempunyai koordinat $T1, 0, 3, A0, 0, 0$, $B5, 0, 0$, dan $C1, 4, 0$. Jika $\theta$ merupakan sudut antara $\vec{TB}$ dan $\vec{TC}$, maka nilai $\cos \theta$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac{9}{25}$ D. $\dfrac{3}{5}$ B. $-\dfrac{3}{5}$ E. $\dfrac{9}{25}$ C. $\dfrac{3}{25}$ Pembahasan Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui $\begin{aligned} \vec{TB} & = B- T = 5, 0, 0- 1, 0, 3 \\ & = 4,0,-3 \\ \vec{TC} & = C- T = 1,4,0-1,0,3 \\ & =0,4,-3 \end{aligned}$ Panjang kedua vektor tersebut dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec{TB} & = \sqrt{4^2+0^2+-3^2} = 5 \\\vec{TC} & = \sqrt{0^2+4^2+-3^2} = 5 \end{aligned}$ Kosinus dari sudut antara $\vec{TB}$ dan $\vec{TC}$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor. $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {TB} \bullet \vec{TC}}{\vec {TB} \cdot \vec {TC}} \\ & = \dfrac{4,0,-3 \bullet 0, 4,-3}{5 \cdot 5} \\ & = \dfrac{40 + 04 + -3-3}{25} = \dfrac{9}{25} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta = \dfrac{9}{25}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 20 Jika sudut antara vektor $\vec a = \widehat{i}+\widehat{j}-r\widehat{k}$ dan $\vec b = r\widehat{i}-r\widehat{j}-2\widehat{k}$ adalah $60^{\circ}$. Nilai $r$ positif yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ C. $0$ E. $-\sqrt2$ B. $1$ D. $-1$ Pembahasan Diketahui $\vec a = 1, 1,-r, \vec b = r,-r,-2$ dan $\angle\vec a, \vec b = \theta = 60^{\circ}.$ Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{\vec a \cdot \vec b} \\ & = \dfrac{1,1,-r \bullet r,-r,-2}{\sqrt{1^2+1^2+-r^2} \cdot \sqrt{r^2+-r^2+-2^2}} \\ \cos 60^{\circ} & = \dfrac{1r + 1-r + -r-2}{\sqrt{2+r^2} \cdot \sqrt{2r^2+4}} \\ \dfrac12 & = \dfrac{2r}{\sqrt{2r^4+8r^2+8}} \\ 4r & = \sqrt{2r^4+8r^2+8} \\ & \text{Kuadratkan}~\text{kedua ruas} \\ 16r^2 & = 2r^4+8r^2+8 \\ 0 & = 2r^4-8r^2+8 \\ 0 & = r^4-4r^2+4 \\ 0 & = r^2-2r^2-2 \end{aligned}$$Didapat $r^2 = 2 \Leftrightarrow r = \pm \sqrt2$ Karena $r$ dikatakan bernilai positif, maka $\boxed{r = \sqrt2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 21 Diketahui vektor $\vec u =0,2,2$ dan $\vec v =-2,0,2$. Proyeksi vektor ortogonal $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\widehat i+\widehat k$ B. $-\widehat i+ \dfrac12 \widehat k$ C. $-\widehat i- \widehat k$ D. $-2i+ \widehat k$ E. $2\widehat i- \widehat k$ Pembahasan Proyeksi ortogonal vektor $\vec u$ pada $\vec v$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec u_{\vec v} = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {\vec v^2} \cdot \vec v}$ Untuk $\vec u = 0,2,2$ dan $\vec v =-2,0,2,$ diperoleh $$\begin{aligned} \vec u_{\vec v} & = \dfrac{0,2,2 \bullet -2,0,2} {\sqrt{-2^2+0^2+2^2}^2} \cdot -2,0,2 \\ & = \dfrac{0-2+20+22} {4+4} \cdot -2,0,2 \\ & = \dfrac{4}{8} \cdot -2,0,2 \\ & = -1,0,1 \end{aligned}$$Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec u = 0,2,2$ pada $\vec v=-2,0,2$ adalah $-1,0,1$ atau bila dinyatakan dalam vektor komponen menjadi $\boxed{-\widehat i + \widehat k}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 22 Proyeksi ortogonal vektor $\vec a = 4\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ pada $\vec b = 2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{13}{14}2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ B. $\dfrac{15}{14}2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ C. $\dfrac872\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ D. $\dfrac972\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ E. $4\widehat{i}+2\widehat{j}+6\widehat{k}$ Pembahasan Proyeksi ortogonal vektor $\vec a$ pada $\vec b$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec a_{\vec b} = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {\vec b^2} \cdot \vec b}$ Untuk $\vec a = 4,1,3$ dan $\vec b =2,1,3$, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a_{\vec b} & = \dfrac{4,1,3 \bullet 2,1,3} {\sqrt{2^2+1^2+3^2}^2} \cdot 2,1,3 \\ & = \dfrac{42+11+33} {4+1+9} \cdot 2,1,3 \\ & = \dfrac{18}{14} \cdot 2,1,3 \\ & = \dfrac972\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k} \end{aligned}$$Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec a = 4,1,3$ pada $\vec b=2,1,3$ adalah $\boxed{\dfrac972\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 23 Diketahui vektor $\vec a = \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}$ dan $\vec b = 8\widehat{i}+m\widehat{k}$. Panjang proyeksi vektor $\vec b$ pada $\vec a$ adalah $\dfrac{1}{5}\vec a$. Vektor proyeksi ortogonal $\vec b$ pada $\vec a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac85 \widehat i-5\widehat j+\dfrac65 \widehat k$ B. $\widehat i+2 \widehat j+5 \widehat k$ C. $\widehat i+5\widehat j+2\widehat k$ D. $\dfrac15 \widehat i- \widehat j+\dfrac25 \widehat k$ E. $\dfrac15 \widehat i+\widehat j+2\widehat k$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 1,-5, 2 \\ \vec b & = 8,0,m \\ \vec b_{\vec a} & = \dfrac15\vec a \end{aligned}$ Akan dicari nilai $m$ dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor. $$\begin{aligned} \vec b_{\vec a} & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{\vec a} \\ \dfrac15\vec a & = \dfrac{8,0,m \bullet 1,-5,2}{\vec a} \\ \dfrac15\sqrt{1^2+-5^2+2^2} & = \dfrac{81+0-5+m2}{\sqrt{1^2+-5^2+2^2}} \\ \dfrac15\sqrt{30} & = \dfrac{8+2m}{\sqrt{30}} \\ 40+10m & = 30 \\ 10m & =-10 \\ m & =-1 \end{aligned}$$Dengan demikian, vektor proyeksi $\vec b$ pada $\vec a$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec b_{\vec a} & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{\vec a^2} \cdot \vec a \\ & = \dfrac{8+2m}{\sqrt{30}^2} \cdot \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k} \\ & = \dfrac{8+2-1}{30} \cdot \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k} \\ & = \dfrac15\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k} \\ & = \;\boxed{\dfrac15\widehat{i}-\widehat{j}+\dfrac25\widehat{k}}\end{aligned}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 24 Diketahui bahwa $\vec a=\sqrt{3},\vec b=1$, dan $\vec a-\vec b=1$. Panjang vektor $\vec a + \vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt3$ D. $2\sqrt2$ B. $\sqrt5$ E. $3$ C. $\sqrt7$ Pembahasan Dengan menerapkan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a-\vec b & = 1 \\ \sqrt{\vec a^2 + \vec b^2- 2\vec a\vec b \cos \theta} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ \vec a^2 + \vec b^2-2\vec a\vec b \cos \theta & = 1 \\ \sqrt3^2 + 1^2-2\sqrt31 \cos \theta & = 1 \\ 4-2\sqrt3 \cos \theta & = 1 \\ \cos \theta & = \dfrac{-3}{-2\sqrt3} \\ \cos \theta & = \dfrac{3}{2\sqrt3} \end{aligned}$$Dengan demikian, $$\begin{aligned} \vec a + \vec b & = \sqrt{\vec a^2 + \vec b^2 + 2\vec a\vec b \cos \theta} \\ & = \sqrt{\sqrt3^2 + 1^2 + \cancel{2\sqrt3}1 \times \dfrac{3}{\cancel{2\sqrt3}}} \\ & = \sqrt{3+1+3} =\sqrt7 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec a + \vec b$ adalah $\boxed{\sqrt7}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 25 Misalkan panjang vektor $\vec a$ adalah $1$ dan panjang vektor $\vec b$ adalah 4 serta $\vec a \bullet \vec b =3$. Panjang vektor $2 \vec a- \vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ D. $\sqrt3$ B. $2\sqrt2$ E. $2\sqrt3$ C. $3$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 1 \\ \vec b & = 4 \\ \vec a \bullet \vec b & = 3 \end{aligned}$ Kosinus sudut antara $\vec a$ dan $\vec b$ dinyatakan oleh $\cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{\vec a \cdot \vec b} = \dfrac{3}{1 \cdot 4}= \dfrac34$ Karena $\vec {2a}$ merupakan perpanjangan dari $\vec a$, maka sudut yang terbentuk oleh $\vec {2a}$ dan $\vec b$ sama dengan sudut yang terbentuk oleh $\vec a$ dan $\vec b$, yaitu $\theta$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} 2\vec a-\vec b & = \sqrt{2a^2+b^2-22ab \cos \theta} \\ & = \sqrt{21^2 + 4^2-22\cancel{4} \dfrac{3}{\cancel{4}}} \\ & = \sqrt{4+16-12} = \sqrt8 = 2\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $2 \vec a- \vec b$ adalah $\boxed{2\sqrt2}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 26 Diketahui vektor $\vec a =2,-2\sqrt2,4, \vec b = -1,p,q$, dan $\vec c=3,\sqrt2,-1$. Jika vektor $\vec a$ berlawanan arah dengan vektor $\vec b$, nilai $\vec a- \vec b \bullet \vec b- \vec c = \cdots \cdot$ A. $-18$ D. $6$ B. $-12$ E. $18$ C. $-6$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 2,-2\sqrt2,4 \\ \vec b & = -1, p, q \\ \vec c & = 3,\sqrt2,-1 \end{aligned}$ Karena $\vec a$ berlawanan arah dengan $\vec b$, maka haruslah ada skalar $k < 0$ sehingga memenuhi $\vec a = k\vec b \Rightarrow 2,-2\sqrt2, 4 = k-1,p,q.$ Dari absis, kita peroleh $2 =-k \Leftrightarrow k =-2.$ Dengan demikian, $-2\sqrt2 =-2p \Leftrightarrow p = \sqrt2$ dan $4 =-2q \Leftrightarrow q =-2$ sehingga $\vec b = -1, \sqrt2,-2.$ Untuk itu, $\begin{aligned} & \vec a- \vec b \bullet \vec b- \vec c \\ & = [2,-2\sqrt2, 4- -1, \sqrt2,-2] \\ & \bullet [-1, \sqrt2,-2- 3, \sqrt2,-1] \\ & = 3,-3\sqrt2, 6 \bullet -4, 0,-1 \\ & = 3-4 + -3\sqrt20 + 6-1 \\ & =-12 + 0- 6 =-18 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{\vec a- \vec b \bullet \vec b- \vec c=-18}$ Catatan Skalar yang dimaksud di sini adalah bilangan real. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 27 Jika $\vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k}$ dan $\vec a-\vec b = \sqrt{14}$, maka $\vec a \bullet \vec b = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $\dfrac12$ E. $2$ B. $\dfrac14$ D. $1$ Pembahasan Karena $\vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k}$, maka panjangnya adalah $\begin{aligned} \vec a + \vec b & = \sqrt{1^2+-1^2+4^2} \\ & = \sqrt{18} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa, $$\begin{aligned} \vec a- \vec b^2 & = \vec a^2 + \vec b^2- 2\vec a\vec b \cos \theta = 14 \\ \vec a + \vec b^2 & = \vec a^2 + \vec b^2 + 2\vec a\vec b \cos \theta = 18 \end{aligned}$$Kurangi kedua persamaan di atas sehingga diperoleh $\begin{aligned}-4\vec a\vec b \cos \theta & =-4 \\ \vec a\vec b \cos \theta & = 1 \\ \vec a \bullet \vec b & = 1 \end{aligned}$ Jadi, perkalian titik dari vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\vec a \bullet \vec b = 1}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 28 Diketahui vektor $\vec k=9,0,-6, \vec l=2,4,-1$, $\vec m =2,1,2$, dan $\vec n=1,-3,-2$. Jika $\vec k = a \vec l + b \vec m + c \vec n$, maka $2a+5b-7c=\cdots \cdot$ A. $-12$ C. $0$ E. $12$ B. $-5$ D. $1$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec k & = 9,0,-6 \\ \vec l & =2,4,-1 \\ \vec m & =2,1,2 \\ \vec n & =1,-3,-2 \end{aligned}$ Dengan menggunakan operasi penjumlahan pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec k & = a \vec l + b \vec m + c \vec n \\ 9, 0,-6 & = a2,4,-1+b2,1,2+c1,-3,-2 \\ 9, 0,-6 & = 2a+2b+c, 4a+b-3c,-a+2b-2c \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh SPLTV $\begin{cases} 2a+2b+c = 9 \\ 4a+b-3c = 0 \\-a+2b-2c=-6 \end{cases}$ SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan banyak cara seperti Metode Substitusi/Eliminasi, Aturan Cramer, Aturan Invers, Eliminasi Gauss/Jordan, dan sebagainya. Penyelesaian SPLTV di atas adalah $a=2, b=1,c=3$. Untuk itu, $\begin{aligned} 2a+5b-7c & =22+51-73\\ & =4+5-21=-12 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{2a+5b-7c=-12}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- SPLTV Soal Nomor 29 Jika $\vec u + \vec v$ tegak lurus dengan $\vec u-\vec v$, maka pernyataan berikut ini yang paling tepat adalah $\cdots \cdot$ A. $\vec u + \vec v=\vec u-\vec v$ B. $\vec u=\vec v$ C. $\vec u = \vec v$ D. arah $\vec u$ = arah $\vec v$ E. $\vec u$ tegak lurus dengan $\vec v$ Pembahasan Karena $\vec u + \vec v$ tegak lurus dengan $\vec u-\vec v$, maka berlaku $\begin{aligned} \vec u + \vec v \bullet \vec u + \vec v & = 0 \\ \vec u \bullet \vec u-\vec v \bullet \vec v & = 0 \\ \vec u^2 \cos 0^{\circ}-\vec v^2 \cos 0^{\circ} & = 0 \\ \vec u^2 & = \vec v^2 \end{aligned}$ Karena masing-masing $\vec u$ dan $\vec v$ menyatakan panjang vektor, maka nilainya tak mungkin negatif sehingga didapat $\vec u = \vec v$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 30 Diketahui titik $A2,1,-4,B2,-4,6$, dan $C-2,5,4$. Titik $P$ membagi $AB$ sehingga $APPB=32$. Vektor yang diawali oleh $\vec{PC}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4,3,-6$ D. $4,-7,-2$ B. $-4,-7,2$ E. $-4,7,2$ C. $-4,3,6$ Pembahasan Titik $P$ berada pada $AB$ dengan $AP PB = 3 2$ sehingga koordinat titik $P$ dapat ditentukan sebagai berikut. 1 Absis $\begin{aligned} x_P & = \dfrac{1}{3+2}2x_A + 3x_B \\ & = \dfrac1522+32 = 2 \end{aligned}$ 2 Ordinat $\begin{aligned} y_P & = \dfrac{1}{3+2}2y_A + 3y_B \\ & = \dfrac1521+3-4 =-2 \end{aligned}$ 3 Aplikat $\begin{aligned} z_P & = \dfrac{1}{3+2}2z_A + 3z_B \\ & = \dfrac152-4+36 = 2 \end{aligned}$ Jadi, koordinat titik $P$ adalah $2,-2, 2$. Dengan demikian, $$\boxed{\begin{aligned} \vec PC & = C- P = -2, 5, 4-2,-2, 2 \\ & = -4, 7, 2 \end{aligned}}$$Jawaban E [collapse] Soal Nomor 31 $ABCD$ adalah segi empat sembarang. Titik $S$ dan $T$ masing-masing titik tengah $AC$ dan $BD$. Jika $\vec{ST} = u$, maka $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec{CD} = \cdots \cdot$ A $\vec u$ D. $4 \vec u$ B. $2 \vec u$ E. $8 \vec u$ C. $3 \vec u$ Pembahasan Cara 1 Perhatikan bahwa $\begin{aligned} \vec{AB} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{AD} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TD} \\ \vec{CB} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{CD} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TD} \end{aligned}$ Karena $T$ titik tengah $BD$, maka $\vec {TB}$ dan $\vec{TD}$ memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan sehingga $\vec{TB} =-\vec{TD}$. Karena $S$ titik tengah $AC$, maka $\vec {AS}$ dan $\vec{CS}$ juga memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan sehingga $\vec{AS} =-\vec{CS}$. Dengan demikian, apabila keempat persamaan di atas dijumlah, diperoleh $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} = 4\vec{ST} = 4\vec u.$ Cara 2 Misal vektor posisi titik $A,B,C,D$ berturut-turut adalah $\vec a, \vec b, \vec c, \vec d$. Karena $S$ di tengah $AC$, maka vektor posisi $S$ adalah $\vec s = \dfrac{\vec a + \vec c}{2}$, dan juga karena $T$ di tengah $BD$, maka vektor posisi $T$ adalah $\vec t = \dfrac{\vec b + \vec d}{2}$. Dengan demikian, $\vec{ST} = \vec u = \vec t-\vec s = \dfrac{\vec b+\vec d}{2}-\dfrac{\vec a+ \vec c}{2}.$ Ini berarti, $$\begin{aligned} & \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} \\ & = \vec b- \vec a + \vec d-\vec a + \vec b-\vec c + \vec d-\vec c \\ & = 2\vec b + \vec d-2\vec a + \vec c \\ & = 4\left\dfrac{\vec b+ \vec d}{2}-\dfrac{\vec a+ \vec c}{2}\right = 4\vec u \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} =4 \vec u}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 32 Diketahui tiga buah vektor, yakni $\vec u = 3\widehat i-\widehat j+2 \widehat k, \vec v = \widehat i + n \widehat j-2\widehat k$, dan $\vec w = \widehat i + m\widehat j-p \widehat k$ saling tegak lurus. Nilai $m+n+p=\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $1\dfrac12$ E. $2\dfrac12$ B. $1$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec u & = 3,-1, 2 \\ \vec v & = 1, n,-2 \\ \vec w & = 1, m,-p \end{aligned}$ Karena $\vec u$ dan $\vec v$ saling tegak lurus, maka $\begin{aligned} \vec u \bullet \vec v & = 0 \\ 3,-1,2 \bullet 1,n,-2 & = 0 \\ 31 + -1n+2-2 & = 0 \\ 3-n-4 & = 0 \\ n & =-1 \end{aligned}$ Ini berarti, $\vec v = 1,-1,-2$. Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, maka $\begin{aligned} \vec u \bullet \vec w & = 0 \\ 3,-1,2 \bullet 1,m,-p & = 0 \\ 31 + -1m+2-p & = 0 \\ 3-m-2p & = 0 \\ m+2p = 3 \end{aligned}$ Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, maka $\begin{aligned} \vec v \bullet \vec w & = 0 \\ 1,-1,-2 \bullet 1,m,-p & = 0 \\ 11 + -1m+-2-p & = 0 \\ 1-m+2p & = 0 \\-m+2p =-1 \end{aligned}$ Diperoleh SPLDV $\begin{cases} m+2p = 3 \\-m+2p=-1 \end{cases}$ yang memiliki penyelesaian $m = 2$ dan $p = \dfrac12$. Jadi, nilai $\boxed{m+n+p=2+-1+\dfrac12 = 1\dfrac12}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 33 Jika $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = 0$, $a = 3$, $b = 5$, dan $c = 7$, maka besar sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{\pi}{6}$ C. $\dfrac{\pi}{3}$ E. $\dfrac{2\pi}{3}$ B. $\dfrac{\pi}{4}$ D. $\dfrac{\pi}{2}$ Pembahasan Perhatikan bahwa $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = 0$ ekuivalen dengan $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$ dengan representasi gambarnya berupa segitiga sembarang sebagai berikut. Misalkan sudut yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\theta$, maka dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh $\begin{aligned} c^2 & = a^2 + b^2-2a b \cos \theta \\ 7^2 & = 3^2+5^2-235 \cos \theta \\ 49 & = 9+25-30 \cos \theta \\ 49 & = 34-30 \cos \theta \\ 15 & = -30 \cos \theta \\ \cos \theta & = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac12 \end{aligned}$ Diperoleh $\theta = 120^{\circ}$ atau $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$. Jadi, besar sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sama dengan $\boxed{\dfrac{2\pi}{3}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 34 Diberikan vektor $\vec{u} = a,b,c$ dan $\vec{v} = b, a, 3$. Jika $\vec {u} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2$ dan $\vec{u}-\vec{v}^2 = 5$, maka nilai $c^3+2c+2$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ C. $2$ E. $14$ B. $-1$ D. $5$ Pembahasan Diketahui $\vec{u} = a,b,c~~~~\vec{v} = b, a, 3$. Karena $\vec {u} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2$, maka berdasarkan definisi perkalian skalar vektor dan panjang vektor, diperoleh persamaan $$\begin{aligned} ab + ab + 3c & = a^2+b^2+c^2 \\ \color{blue}{a^2+b^2+c^2-2ab-3c} & = 0 \end{aligned}$$Karena $\vec{u}-\vec{v}^2 = 5$, maka kita peroleh $$\begin{aligned} a-b^2+b-a^2+c-3^2 & = 5 \\ 2a-b^2 + c-3^2 & = 5 \\ 2a^2-4ab+2b^2+c^2-6c+9 & = 5 \\ 2a^2+2b^2+c^2-4ab-6c & =-4 \\ 2\color{blue}{a^2+b^2+c^2-2ab-3c}-c^2 & =-4 \\ 20-c^2 & =-4 \\ c & = \pm 2 \end{aligned}$$Untuk $c = 2$, diperoleh $c^3+2c+2 = 2^3+22+2 = 14.$ Untuk $c=-2$, diperoleh $\begin{aligned} c^3+2c+2 & = -2^3+2-2+2 \\ & =-10. \end{aligned}$ Jadi, nilai $c$ yang mungkin adalah $\boxed{14~\text{atau}~-10}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 35 Diketahui vektor-vektor $\vec u = b\widehat{i}+a\widehat{j}+9\widehat{k}$ dan $\vec v = a\widehat{i}-b\widehat{j}+a\widehat{k}$. Sudut antara vektor $\vec u$ dan $\vec v$ adalah $\theta$ dengan $\cos \theta = \dfrac{6}{11}$. Proyeksi ortogonal $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\vec p = 4\widehat{i}-2\widehat{j}+4\widehat{k}$. Nilai dari $b=\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ D. $4$ B. $2$ E. $4\sqrt2$ C. $2\sqrt2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec u & = b, a, 9 \\ \vec v & = a,-b, a \\ \angle\vec u, \vec v & = \theta \\ \cos \theta & = \dfrac{6}{11} \\ \vec u_{\vec v} & = \vec p = 4,-2, 4 \end{aligned}$ Misalkan $n = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {\vec v^2}$. Dengan menggunakan rumus proyeksi ortogonal vektor, didapat $\begin{aligned} \vec u _{\vec v} & = n \cdot \vec v \\ 4,-2,4 & = na,-b, a \\ 4,-2,4 & = na,-nb, an \end{aligned}$ Dari sini, diperoleh $4=na$ dan $-2=-nb$. Kedua persamaan di atas dapat ditulis menjadi $n = \dfrac{a}{4}$ dan $n = \dfrac{2}{b}.$ Untuk itu, $\dfrac{a}{4} = \dfrac{2}{b} \Leftrightarrow a = 2b.$ Selanjutnya, dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, didapat $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{\vec u \cdot \vec v} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{b, a, 9 \bullet a,-b, a}{\sqrt{b^2+a^2+9^2} \cdot \sqrt{a^2 + -b^2 + a^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{ab- ab + 9a}{\sqrt{a^2+b^2+81} \cdot \sqrt{2a^2 + b^2}} \\ & \text{Substitusikan}~a = 2b \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{92b}{\sqrt{2b^2+b^2+81} \cdot \sqrt{22b^2 +b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{18b}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \sqrt{9b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{\cancelto{6}{18b}}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \cancel{3b}} \\ 11 & = \sqrt{5b^2+81} \\ 121 & = 5b^2+81 \\ b^2 & = \dfrac{121-81}{5} = 8 \\ b & = 2\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{2\sqrt{2}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 36 Bangun $ABCD$ berikut merupakan trapesium dengan $AE=FB$. Jika $\vec{AB} = 3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$ dan $\vec{AD} = \vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}$, maka $\vec{DC} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{4}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ B. $\dfrac{13}{34}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ C. $\dfrac{13}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ D. $\dfrac{5}{11}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ E. $\dfrac{2}{11}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ Pembahasan Diketahui $\vec{AB} = 3, -3, 4$ dan $\vec{AD} = 1, -2, 1$. Proyeksi vektor ortogonal $\vec{AD}$ pada $\vec{AB}$ dinyatakan oleh $$\begin{aligned} \vec{AE} & = \dfrac{\vec{AD} \bullet \vec{AB}}{\vec{AB}^2} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{1, -2, 1 \bullet 3, -3, 4}{3^2+-3^2+4^2} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{1 \cdot 3 + -2 \cdot -3 + 1 \cdot 4}{9+9+16} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{13}{34} \cdot \vec{AB} \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $$\begin{aligned} \vec{DC} & = \vec{EF} \\ & = \vec{AB}-\vec{AE}-\vec{FB} \\ & = \vec{AB}-2\vec{AE} && \vec{AE} = \vec{FB} \\ & = \vec{AB}-2 \cdot \dfrac{13}{34} \vec{AB} \\ & = \left1-\dfrac{13}{17}\right \vec{AB} \\ & = \dfrac{4}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right \end{aligned}$$Jadi, vektor $DC$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec{DC} = \dfrac{4}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right}$ Jawaban A [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Diketahui $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan pusat $O.$ Jika vektor $\vec{AB} = \vec{u}$ dan $\vec{AF} = \vec{v},$ tentukan vektor-vektor di bawah ini dalam $\vec{u}$ dan $\vec{v}.$ a. $\vec{OA}$ b. $\vec{AE}$ c. $\vec{AD}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $\vec{AB} = \vec u$ dan $\vec{AF} = \vec v$. Dengan demikian, $\vec{OF} = -\vec{AB} = -\vec u.$ Untuk itu, $\begin{aligned} \vec{OA} & = \vec{OF} + \vec{FA} \\ & = \vec{OF}-\vec{AF} \\ & = -\vec u -\vec v \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{OA} = -\vec u-\vec v}$ Jawaban b Diketahui $\vec{AF} = \vec v$. Dari jawaban a di atas, diketahui juga bahwa $\vec{OA} = \vec{EF} = -\vec u-\vec v.$ Untuk itu, $\begin{aligned} \vec{AE} & = \vec{AF} + \vec{FE} \\ & = \vec{AF}-\vec{EF} \\ & = \vec v-\vec u-\vec v = 2 \vec v+\vec u \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{AE} = 2 \vec v+\vec u}$ Jawaban c Dari jawaban a di atas, diketahui bahwa $\vec{OA} = -\vec u- \vec v$ sehingga $\vec{AO} = \vec v+\vec u.$ Karena $\vec{AO} = \vec{OD}$ memiliki arah dan nilai yang sama, maka $\begin{aligned} \vec{AD} & = \vec{AO} + \vec{OD} \\ & = \vec{AO} + \vec{AO} \\ & = 2\vec{AO} = 2\vec v+\vec u \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{AD} = 2\vec v+\vec u}$ [collapse] Soal Nomor 2 Pada persegi panjang $OPQR$, diketahui $M$ titik tengah $QR$ dan $N$ titik tengah $PR$. Jika $\vec u = \vec{OP}$ dan $\vec v = \vec{OQ}$, nyatakan $\vec{MN}$ dalam $\vec u$ dan $\vec v$. Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Diketahui $\begin{aligned} \vec{OP} & = \vec u \\ \vec{OQ} & = \vec v \end{aligned}$ Perhatikan vektor $QP$. Jumlah dari vektor $QO$ dan $OP$ sama dengan $\vec{QP}$ sehingga $\begin{aligned} \vec{QP} & = \vec{QO} + \vec{OP} \\ & =-\vec{OQ} + \vec{OP} \\ & =-\vec v + \vec u \end{aligned}$ Karena panjang $\vec{MN}$ setengah dari panjang $\vec{QP}$, maka $\boxed{\vec{MN} = \dfrac12-\vec v + \vec u}$ [collapse] Soal Nomor 3 Given vectors $\vec a = 2\widehat i-\widehat j + 2 \widehat k$ and $\vec b = 4\widehat i-x \widehat j-8 \widehat k$. If vectors $\vec a + \vec b$ is perpendicular to $\vec a$, find the unit vector which has the same direction as $\vec b$. Diberikan vektor $\vec a = 2\widehat i-\widehat j + 2 \widehat k$ and $\vec b = 4\widehat i-x \widehat j-8 \widehat k$. Jika vektor $\vec a + \vec b$ tegak lurus dengan $\vec a$, tentukan vektor satuan yang memiliki arah yang sama dengan $\vec b$. Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 2,-1, 2 \\ \vec b & = 4,-x,-8 \end{aligned}$ Karena vektor $\vec a + \vec b$ tegak lurus dengan $\vec a$, maka $$\begin{aligned} \vec a + \vec b \bullet \vec a & = 0 \\ [2,-1, 2 + 4,-x,-8 \bullet 2,-1, 2 & = 0 \\ 6,-1-x,-6 \bullet 2,-1, 2 & = 0 \\ 62 + -1-x-1 + -62 & = 0 \\ \cancel{12} + 1 + x-\cancel{12} & = 0 \\ 1+x & = 0 \\ x & =-1 \end{aligned}$$Dengan demikian, vektor $b$ dinyatakan oleh $\vec b = 4,-1,-8 = 4, 1,-8.$ Untuk mencari vektor satuan yang searah dengan vektor $\vec b$, kita hanya perlu membagi tiap komponen vektor $\vec b$ dengan panjangnya. Diketahui panjang magnitude $\vec b$ adalah $\begin{aligned} \vec b & = \sqrt{4^2+1^2+-8^2} \\ & = \sqrt{16+1+64} = \sqrt{81} = 9 \end{aligned}$ Vektor satuan yang dimaksud adalah $\begin{aligned} \vec b_i & = \dfrac{\vec b}{\vec b} \\ & = \dfrac{1}{9}4, 1,-8 \\ & = \left\dfrac49, \dfrac19,-\dfrac89\right \end{aligned}$ Catatan Untuk mengecek apakah jawaban ini benar, kita hanya perlu mencari panjang vektor $\vec b_i$. Karena vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1, maka haruslah $\vec b_i = 1$. [collapse] Soal Nomor 4 Jika $\vec a = 10, \vec b = 6$, dan $\angle\vec a, \vec b = 60^{\circ}$, maka tentukan a. $\vec a + \vec b$; b. $\vec a-\vec b$; c. $2\vec a-\vec b$. Pembahasan Jawaban a Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, didapat $$\begin{aligned} \vec a + \vec b & = \sqrt{\vec a^2+\vec b^2+2\vec a\vec b \cos \angle\vec a, \vec b} \\ & = \sqrt{10^2+6^2+2106 \cos 60^{\circ}} \\ & = \sqrt{100+36+\cancel{2}60 \dfrac{1}{\cancel{2}}} \\ & = \sqrt{196} = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec a + \vec b$ adalah $\boxed{14}$ Jawaban b Karena $\angle\vec a, \vec b = 60^{\circ}$, maka $\angle\vec a,-\vec b = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a-\vec b & = \sqrt{\vec a^2+-\vec b^2+2\vec a-\vec b \cos \angle\vec a,-\vec b} \\ & = \sqrt{10^2+-6^2+210-6 \cos 120^{\circ}} \\ & = \sqrt{100+36-\cancel{2}60 \left-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right} \\ & = \sqrt{196} = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec a-\vec b$ adalah $\boxed{14}$ Jawaban c Karena $\angle\vec a, \vec b = 60^{\circ}$, maka $\angle2\vec a,-\vec b = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}$. Kelipatan skalar vektor tidak mengubah arahnya Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} 2\vec a-\vec b & = \sqrt{2 \vec a^2+-\vec b^2+22 \vec a-\vec b \cos \angle2 \vec a,-\vec b} \\ & = \sqrt{410^2+-6^2+2210-6 \cos 120^{\circ}} \\ & = \sqrt{400+36-\cancel{2}120 \left-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right} \\ & = \sqrt{556} = 2\sqrt{139} \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $2\vec a,-\vec b$ adalah $\boxed{2\sqrt{139}}$ [collapse] Soal Nomor 5 Jika $\vec {a} = 1, \vec{b} = 9$, dan $\vec{a} \bullet \vec{b} = 5$, tentukan a. besar $\vec{a}-\vec{b}$; b. besar $2\vec{a}-3\vec{b}$. Pembahasan Jawaban a $$\begin{aligned} \vec{a}-\vec{b} & = \sqrt{\vec{a}-\vec{b}^2} \\ & = \sqrt{\vec{a} \bullet \vec{a}-2 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b}+\vec{b} \bullet \vec{b}} \\ & = \sqrt{\vec{a}^2-2 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b} + \vec{b}^2} \\ & = \sqrt{1^2-2 \cdot 5 + 9^2} \\ & = \sqrt{1-10+81} = \sqrt{72} = 6\sqrt2 \end{aligned}$$Jawaban b $$\begin{aligned} 2\vec{a}-3\vec{b} & = \sqrt{2\vec{a}-3\vec{b}^2} \\ & = \sqrt{4 \cdot \vec{a} \bullet \vec{a}-12 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b}+9 \cdot \vec{b} \bullet \vec{b}} \\ & = \sqrt{4\vec{a}^2-12 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b} + 9\vec{b}^2} \\ & = \sqrt{41^2-12 \cdot 5 + 99^2} \\ & = \sqrt{4-60+729} = \sqrt{673} \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 6 Diberikan segitiga sama sisi dengan panjang sisi $4$ satuan seperti gambar. Tentukan hasil dari $\vec{a} \bullet \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$. Pembahasan Berdasarkan prinsip penjumlahan vektor, kita tahu bahwa $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b}$ sehingga $\begin{aligned} \vec{a} \bullet \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = \vec{a} \bullet \vec{b} + \vec{b} \\ & = 2\vec{a} \bullet \vec{b} \end{aligned}$ Selanjutnya, akan dicari nilai $\vec{a} \bullet \vec{b}$ menggunakan aturan kosinus pada vektor $\cos \theta = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$. Besar sudut antara dua vektor itu adalah $60^{\circ}$ karena segitiga sama sisi dan panjang vektor $a$ dan $b$ masing-masing $4$ satuan. Untuk itu, $\begin{aligned} \cos 60^{\circ} & = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{4 \cdot 4} \\ \dfrac12 & = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{9} \\ \vec{a} \bullet \vec{b} & = 8 \end{aligned}$ Dengan demikian, diperoleh $\boxed{2\vec{a} \bullet \vec{b} = 28 = 16}$ [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui koordinat $A0,4,6,B-2,0,4$, dan $C2,2,2$. Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $AP PB = 13$. Tentukan a. Koordinat $P$; b. Proyeksi vektor $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$; c. Proyeksi skalar $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$. Pembahasan Jawaban a Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $AP PB = 13$. Untuk itu, koordinat $P$ dapat ditentukan sebagai berikut. Absis $\begin{aligned} x_P & = \dfrac{1}{1+3}1x_B + 3x_A \\ & = \dfrac141-2+30 =-\dfrac12 \end{aligned}$ Ordinat $\begin{aligned} y_P \\ & = \dfrac{1}{1+3}1y_B + 3y_A \\ & = \dfrac1410+34 = 3 \end{aligned}$ Aplikat $\begin{aligned} z_P & = \dfrac{1}{1+3}1z_B + 3z_A \\ & = \dfrac1414+36 = \dfrac{11}{2} \end{aligned}$ Jadi, koordinat $P$ adalah $\boxed{\left-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right}$ Jawaban b Diketahui bahwa $\begin{aligned} \vec{AP} & = P- A \\ & = \left-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right- 0, 4, 6 \\ & = \left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \\ \vec{AC} & = C- A \\ & = 2,2,2-0,4,6 \\ & =2,-2,-4 \\ \vec{AC}^2 & = 2^2+-2^2+4^2 = 24 \end{aligned}$ Dengan menggunakan rumus proyeksi vektor, didapat $$\begin{aligned} \vec{AP}_{\vec{AC}} & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{\vec{AC}^2} \cdot \vec{AC} \\ & = \dfrac{\left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \bullet 2,-2,-4}{24} \cdot 2,-2, 4 \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{24} \cdot 2,-2, 4 \\ & = \left\dfrac14,-\dfrac14, \dfrac12\right \end{aligned}$$Jadi, proyeksi vektor $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$ adalah $\boxed{\dfrac14 \widehat i- \dfrac14 \widehat j + \dfrac12 \widehat k}$ Jawaban c Diketahui bahwa $$\begin{aligned} \vec{AP} & = P- A = \left-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right- 0, 4, 6 = \left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \\ \vec{AC} & = C- A = 2,2,2-0,4,6=2,-2,-4 \\ \vec{AC} & = \sqrt{2^2+-2^2+4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus proyeksi skalar, didapat $$\begin{aligned} \vec{AP}_{\vec{AC}} & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{\vec{AC}} \\ & = \dfrac{\left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \bullet 2,-2,-4}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt6} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{\cancel{3}\sqrt6}{2\cancelto{2}{6}} = \dfrac{1}{4}\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, proyeksi skalar $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$ adalah $\boxed{\dfrac14\sqrt{6}}$ [collapse] Soal Nomor 8 Diketahui balok $ dengan $\vec{OA} = 4, \vec{OC} = 3$, dan $\vec{OD} = 6$. Tentukan proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$. Pembahasan Perhatikan sketsa balok $ berikut. Karena $\vec{OA} = 4$ dan $\vec{OC} = \vec{AB} = 3$, maka dengan rumus Pythagoras, diperoleh $\begin{aligned} \vec{OB} & = \sqrt{\vec{OA}^2 + \vec{AB}^2} \\ & = \sqrt{4^2+3^2} = 5 \end{aligned}$ Misalkan $\vec{c}$ adalah proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$ sehingga $\vec{c} = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\vec{OB}}.$ Misalkan juga sudut antara $\vec{OB}$ dan $\vec{OF}$ adalah $\theta$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\vec{OF} \cdot \vec{OB}} \\ \dfrac{\vec{OB}}{\cancel{\vec{OF}}} & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\cancel{\vec{OF}} \cdot \vec{OB}} \\ \vec{OB}^2 & = \vec{OF} \bullet \vec{OB} \end{aligned}$ Kembali pada rumus proyeksi skalar, diperoleh $\begin{aligned} \vec{c} & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\vec{OB}} \\ & = \dfrac{\vec{OB}^2}{\vec{OB}} \\ & = \vec{OB} = 5 \end{aligned}$ Jadi, proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$ adalah $\boxed{5}$ [collapse] Soal Nomor 9 Diketahui segi empat $ABCD$ dengan titik $P$ pada $AC$ sehingga $\vec{AP} = \dfrac13 \vec{AC}$ dan titik $Q$ pada $BD$ sehingga $\vec{BQ} = \dfrac13 \vec{BD}$. Buktikan bahwa $3\vec{PQ} = 2\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AC}.$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar segi empat $ABCD$ berikut. Dari gambar, $\color{blue}{\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}}$. Berdasarkan aturan penjumlahan vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec{PQ} & = \vec{PA} + \vec{AD}+\vec{DQ} \\ \vec{PQ} & = -\dfrac13 \vec{AC} + \vec{AD}-\dfrac23 \vec{BD} \\ \text{Kalikan}&~\text{kedua ruas dengan}~3 \\ 3\vec{PQ} & = -\vec{AC} + 3\vec{AD}-2 \vec{BD} \\ 3\vec{PQ} & = \vec{AD} + 2\vec{AD}-2\vec{BD}-\vec{AC} \\ 3\vec{PQ} & = \vec{AD} + 2\color{blue}{\vec{AB} + \vec{BD}} -2\vec{BD}-\vec{AC} \\ 3\vec{PQ} & = 2\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AC} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$3\vec{PQ} = 2\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AC}.$$ $\blacksquare$ [collapse]
Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya, Pembuktian β Induksi matematika merupakan materi ilmu matematika yang paling sering dijumpai, apalagi kalau menempuh pendidikan di jurusan IPA. Ini merupakan perluasan dari logika matematika. Meskipun terlihat sederhana, namun sebenarnya membutuhkan kecermatan tersendiri. Untuk itu, perlu memahami contoh soal induksi matematika dan jawabanya. Induksi matematika merupakan metode pembuktian tertentu secara deduktif guna melakukan pembuktian dari pernyataan benar maupun salah. Ini melibatkan proses berpikir dalam menarik suatu kesimpulan tertentu berdasarkan kebenaran apa yang berlaku secara umum. Mengenal Apa Itu Induksi Matematika Daftar IsiMengenal Apa Itu Induksi Matematika Sejarah Induksi Matematika Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Prinsip Induksi Matematika Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Daftar Isi Mengenal Apa Itu Induksi Matematika Sejarah Induksi Matematika Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Prinsip Induksi Matematika Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Bagi pecinta ilmu matematika pasti sudah tidak merasa asing dengan yang namanya induksi matematika. Induksi matematika adalah semacam cara maupun metode pembuktian absah guna membuktikan pernyataan matematika benar atau salah. Induksi matematika merupakan metode penalaran yang bersifat deduktif. Jadi, induksi matematika dipakai untuk melakukan pembuktian universal terkait statement matematika tertentu. Contohnya, teori graf, teori bilangan serta kombinatorika. Pecinta matematika memakai induksi matematika guna memberikan penjelasan terkait pernyataan matematika yang sudah diketahui kebenarannya. Prinsip induksi matematika bisa dijelaskan secara umum yakni asumsi induktif serta induksi dasar. Induksi matematika membutuhkan kecermatan tersendiri, meskipun terlihat cukup sederhana. Agar bisa memahami induksi matematika dengan baik, maka sebaiknya mencari tahu tentang contoh soal induksi matematika dan jawabannya lengkap. Sejarah Induksi Matematika Tahukah Anda bahwa induksi matematikan sudah ada sejak lama. Induksi matematika bermula pada akhir dari abad ke 19 yang juga dipelopori oleh dua orang matematikawa bernama Dedikind dan R. Dedekind. Kedua tokoh tersebut tengah mengembangkan sekumpulan aksioma yang mampu menggambarkan bentuk bilangan yaitu bilangan positif. Peano memperbaiki bagian aksioma tersebut serta memberikannya interpretasi yang jauh lebih logis. Kemudian, semua aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano dan ditemukan sekitar tahun 1890an. Lalu, ini disebut sebagai rumusan formula bagi konsep bilangan asli. Sejumlah hukum atau ketentuan Postulat Peano diantaranya 1 merupakan anggota N. Tiap-tiap anggota x N memiliki prinsip pengikut yakni px βN. Dua bentuk bilangan di N yang memiliki perbedaan juga memiliki pengikut berbeda. 1 bukan menjadi pengikut dari bilangan x N manapun. Apabila subhimpunan S C N memuat 1 bagian dan pengikut lainnya dari setiap bilangan di S, maka S β N. Ini sudah pasti dan tidak terelakan lagi. Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Induksi matematika sebetulnya merupakan semacam metode yang dipakai guna melakukan pemeriksaan terkait validasi pernyataan dalam himpunan bilangan positif maupun himpunan bilangan asli. Agar bisa melakukan pembuktian seperti ini, maka dibutuhkan dua langkah penting. Langkah Basis Langkah basis merupakan langkah awal untuk melakukan pembuktian induksi matematika. Langkah basis menunjukkan suatu pernyataan yang berlaku untuk bilangan 1. Langkah Induksi Setelah langkah basis, ada langkah induksi. Langkah induksi menunjukkan bahwa apabila pernyataan itu berlaku untuk suatu bilangan n = k, maka pernyataan tersebut juga berlaku bagi bilangan n = k + 1. Prinsip Induksi Matematika Ketika ingin mempelajari induksi matematika, maka sebaiknya cermati prinsip-prinsipnya terlebih dahulu. Setidaknya ada 4 prinsip yang harus dicermati saat membuktikan induksi matematika, diantaranya seperti berikut. Basis = tunjukkan p1 adalah benar. Induksi = misalnya pn adalah benar untuk seluruh bilangan positif n = 1 Langkah induksi memuat asumsi yang menyatakan tentang p n adalah benar. Asumsi ini disebut sebagai hipotesi induksi. Kesimpulan = pembuktian bahwa p n+1 adalah benar. Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Agar Anda bisa lebih memahami tentang induksi matematika, maka sebaiknya simak contoh soal induksi matematika dan jawabannya. Dengan demikian, Anda bisa benar-benar memahami dan menguasai materi ini secara maksimal. Soal 1 Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5. Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya Langkah Pertama 321 + 221+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti. Langkah Kedua Menggunakan 2 n = k 32k + 22k + 2 Langkah Ketiga = k + 1 = 32k+1 + 222k+2 = 32k+2 + 22k+2+2 = 3232k + 2222k+2 = 1032k + 522k+2 β 32k β 22k+2 = 10 32k + 5 22k+2 β 32k + 22k+2 Diperoleh 10 32k sudah habis dibagi 5, 522k+2 sudah habis dibagi 5 dan β32k + 22k+2 juga habis dibagi 5. Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + β¦ + 2n = 2n+1 β 1. Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 β 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1 Jika pn benar, yakni 20 + 21 + 22 + β¦ + 2n = 2n+1 β 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa pn+1 juga benar 20 + 21 + 22 + β¦ + 2n = 2n+1 β 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + β¦ + 2n + 2n+1 = 20 + 21 + 22 + β¦ + 2n + 2n+1 = 2n+1 β 1 + 2n+1 hipotesis induksi. = 2n+1 + 2n+1 β 1 = β 1 = 2n+2 β 1 = 2n+1+1 β 1 Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + β¦ + 2n = 2n+1 β 1. Soal 2 Buktikan bahwa jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2. Temukan terlebih dahulu basis induksi. Untuk n = 1, maka jumlah satu buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah 12 = 1. Hal ini benar karena jumlah dari satu buah bilagan ganjil yang positif pertama ialah 1. Terapkan induksi dengan mengandaikan pn benar, yakni 1 + 3 + 5 + β¦ + 2n β 1 = n2 Selanjutnya, perlihatkan bahwa p n+1 juga benar yakni 1 + 3 + 5 + β¦ + 2n β 1 + 2n + 1 = n + 12 adalah benar. Hal ini bisa ditunjukkan dengan uraian berikut. 1 + 3 + 5 + β¦ + 2n β 1 + 2n + 1 = [1 + 3 + 5 + β¦ + 2n β 1] + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n + 12 Karena baik langkah basis maupun induksi keduanya sudah ditunjukkan dengan benar, maka total jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2. Soal 3 Coba buktikan 1 + 3 + 5 + β¦ + 2n β 1 = n2. Pn = 1 + 3 + 5 + β¦ + 2n β 1 = n2. Maka akan mampu menujukkan Pn benar untuk tiap-tiap n N. Langkah Pertama Contoh soal induksi matematika dan jawabannya ini pasti mampu mempermudah Anda. Jika menghadapi soal seperti ini, sebaiknya lakukan langkah pertama terlebih dahulu. Langkah awal akan menunjukkan bahwa p1 adalah benar 1 = 12. Jadi, p1 adalah benar. Langkah Induksi Berikutnya, bisa langsung menerapkan langkah induksi. Ibaratkan saja jika Pk adalah benar, yaitu 1 + 3 + 5 + β¦ + 2k β 1 = k2, k N 1 + 3 + 5 + β¦ + 2k β 1 + 2k + 1 β 1 = k + 12 1 + 3 + 5 + β¦ + 2k β 1 = k2 1 + 3 + 5 + β¦ + 2k β 1 + 2k + 1 β 1 = k2 + 2k + 1 β 1 1 + 3 + 5 + β¦ + 2k β 1 + 2k + 1 β 1 = k2 + 2k + 1 1 + 3 + 5 + β¦ + 2k β 1 + 2k + 1 β 1 = k + 12 Berdasarkan uraian tersebut, maka diketahui bahwa pn adalah benar bagi masing-masing n dari bilangan asli. Soal 4 Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N. Sama seperti contoh soal induksi matematika dan jawabannya yang lalu, pada soal ini Anda juga perlu membuat langkah awal dan induksi. Langkah Awal Langkah ini akan menunjukkan jika p1 adalah benar. 61 + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p1 adalah benar. Langkah Induksi Berikutnya adalah langkah induksi. Pada langkah induksi, ibaratkan saja pk adalah benar, maka 6k + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, k N. Hal ini akan menunjukkan pk + 1 adalah juga benar yaitu 6k+1 + 4 juga habis dibagi angka 5. 6k+1 + 4 = 66k + 4 6k+1 + 4 = 56k + 6k + 4 Jika 56k telah habis dibagi 5 dan 6k + 4 juga habis dibagi 5, maka 56k + 6k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, pk + 1 adalah benar. Soal 5 Buktikanlah bahwa bagi setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + β¦ + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2. Persis seperti cara sebelumnya, sebaiknya Anda buat langkah basic dan induksi. Langkah Awal n = 1 12 = 1/6 1 1 + 1 1 + 2 1 = 1 adalah benar terbukti. Langkah Induksi n = k 1 + 3 + 5 + β¦ + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2 juga adalah benar. Dengan demikian jelas terbukti bahwa setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + β¦ + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2. Tentu ini menjadi soal paling sederhana, diantara soal-soal lainnya. Contoh soal induksi matematika dan jawabannya tersebut kiranya bisa membuat Anda jauh lebih memahami tentang ilmu sains ini. Apalagi jika Anda langsung mempraktikannya. Dijamin, ilmunya akan selalu melekat di kepala. Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu Kost Dekat UGM Jogja Kost Dekat UNPAD Jatinangor Kost Dekat UNDIP Semarang Kost Dekat UI Depok Kost Dekat UB Malang Kost Dekat Unnes Semarang Kost Dekat UMY Jogja Kost Dekat UNY Jogja Kost Dekat UNS Solo Kost Dekat ITB Bandung Kost Dekat UMS Solo Kost Dekat ITS Surabaya Kost Dekat Unesa Surabaya Kost Dekat UNAIR Surabaya Kost Dekat UIN Jakarta
diketahui bahwa 1 1 3
